Question

8．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x
（Ⅰ） 試求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（C）=$\frac{3}{2}$，求$\frac{\sqrt{3}（{c}^{2}+ab+3^{2}）}{4{S}_{△ABC}}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（II）由題意可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，解得2C+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，結(jié)合范圍0＜C＜π，可求C=$\frac{π}{6}$，利用三角形面積公式，余弦定理，基本不等式化簡所求即可得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（I）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．…（7分）
（II）∵f（C）=sin（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2C+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴C=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$，
∴可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{4}$ab，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\sqrt{3}$ab，
∴$\frac{\sqrt{3}（{c}^{2}+ab+3^{2}）}{4{S}_{△ABC}}$=$\frac{\sqrt{3}[{a}^{2}+4^{2}+（1-\sqrt{3}）ab]}{ab}$=$\sqrt{3}$[$\frac{a}$+$\frac{4b}{a}$+（1-$\sqrt{3}$）]$≥5\sqrt{3}$-3，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，取等號．…（14分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．