已知橢圓:
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,過(guò)點(diǎn)
的直線交橢圓
于
兩點(diǎn),求
面積的最大值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析試題分析:(Ⅰ)將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程組成方程組,即可求的值。(Ⅱ)由橢圓方程可知
?煞种本斜率存在和不存在兩種情況討論,為了省去討論也可直接設(shè)直線
方程為
。與橢圓聯(lián)立方程,消去
整理可得關(guān)于
的一元二次方程,因?yàn)橛袃蓚(gè)交點(diǎn)即方程有兩根,所以判別式應(yīng)大于0。然后用韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。求
面積時(shí)可先求截得的弦長(zhǎng),再求點(diǎn)
到直線的距離,從而可求面積(此種方法計(jì)算量過(guò)大)。另一方法求
面積:可用轉(zhuǎn)化思想將
分解成兩個(gè)小三角形,即
。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e7/4/1rywa2.png" style="vertical-align:middle;" />,可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問(wèn)題。
試題解析:解:(Ⅰ)由題意,橢圓
的方程為
. 1分
將點(diǎn)代入橢圓方程,得
,解得
.
所以 橢圓的方程為
. 3分
(Ⅱ)由題意可設(shè)直線的方程為:
.
由得
.
顯然 .
設(shè),
,則
7分
因?yàn)?的面積
,其中
.
所以 .
又,
. 9分
.
當(dāng)時(shí),上式中等號(hào)成立.
即當(dāng)時(shí),
的面積取到最大值
. 11分
考點(diǎn):1橢圓方程;2直線與橢圓的位置關(guān)系;3三角形面積;4最值問(wèn)題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知F1,F2分別為橢圓C1:=1(a>b>0)的上下焦點(diǎn),其中F1是拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且|MF1|=
.
(1)試求橢圓C1的方程;
(2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=k(x+t)(t≠0)交橢圓于A,B兩點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)P滿足,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,是橢圓
的左、右頂點(diǎn),橢圓
的離心率為
,右準(zhǔn)線
的方程為
.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)是橢圓
上異于
的一點(diǎn),直線
交
于點(diǎn)
,以
為直徑的圓記為
. ①若
恰好是橢圓
的上頂點(diǎn),求
截直線
所得的弦長(zhǎng);
②設(shè)與直線
交于點(diǎn)
,試證明:直線
與
軸的交點(diǎn)
為定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線的頂在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)
到直線
的距離是
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線
交于
兩點(diǎn),設(shè)線段
的中垂線與
軸交于點(diǎn)
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和
,圓
是以
為圓心,半徑為
的圓,點(diǎn)
是圓
上任意一點(diǎn),線段
的垂直平分線
和半徑
所在的直線交于點(diǎn)
.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)
的軌跡方程
;
(Ⅱ)已知,
是曲線
上的兩點(diǎn),若曲線
上存在點(diǎn)
,滿足
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在軸、
軸上滑動(dòng),且
,點(diǎn)P在線段MN上,滿足
,記點(diǎn)P的軌跡為曲線W.
(1)求曲線W的方程,并討論W的形狀與的值的關(guān)系;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)A、B是曲線W與
軸、
軸的正半軸的交點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線W交于C、D兩點(diǎn),其中C在第一象限,求四邊形ACBD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0),兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)Q(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的
對(duì)稱點(diǎn)為A1.求證:直線A1B過(guò)x軸上一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
、
,
為原點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)為橢圓
上的一點(diǎn),
是
的中點(diǎn),且
,求點(diǎn)
到
軸的距離;
(2)如圖2,直線與橢圓
相交于
、
兩點(diǎn),若在橢圓
上存在點(diǎn)
,使四邊形
為平行四邊形,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的離心率
,一條準(zhǔn)線方程為
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若以>0)為斜率的直線
與橢圓
相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)
,且線段
的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為
,求
的取值范圍。
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