Question

15．已知：拋物線方程；y²=2px（p＞0），經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線；x+3y=0與拋物線交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在拋物線上，且直線OB⊥OA，△AOB的面積為60．求：
（1）拋物線的方程；
（2）直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）將直線x+3y=0代入拋物線方程y²=2px，求得A的坐標(biāo)；將直線y=3x代入拋物線方程y²=2px，求得B的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，解方程可得p=3，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）求得A，B的坐標(biāo)，求得AB的斜率，由點(diǎn)斜式方程，可得直線AB的方程．

解答 解：（1）將直線x+3y=0代入拋物線方程y²=2px，
可得y²=-6py，解得y=0或-6p，
即有A的坐標(biāo)為（18p，-6p），
直線OB⊥OA，可得直線OB的方程為y=3x，
代入拋物線的方程，可得B（$\frac{2P}{9}$，$\frac{6P}{9}$），
由△AOB的面積為60，可得$\frac{1}{2}$•|OA|•|OB|=60，
即為$\sqrt{324{p}^{2}+36{p}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{p}^{2}}{81}+\frac{36{p}^{2}}{81}}$=120，
解得p=3．
即有拋物線的方程為y²=6x；
（2）由（1）可得A（54，-18），B（$\frac{2}{3}$，2），
直線AB的斜率為k=$\frac{2+18}{\frac{2}{3}-54}$=-$\frac{3}{8}$，
即有直線AB的方程為y+18=-$\frac{3}{8}$（x-54），
即為3x+8y-18=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，注意直線方程和拋物線方程聯(lián)立，考查直線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．