Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線x+y+2$\sqrt{2}$-1=0與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)B，C，D是橢圓上不同于橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，設(shè)直線CD，CB，OB，OC的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．
（i）求k₁k₂的值；
（ii）求OB²+OC²的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可知，橢圓右焦點(diǎn)F₂到直線x+y+2$\sqrt{2}$-1=0的距離為a，再由橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形得到a，b，c的關(guān)系，結(jié)合焦點(diǎn)F₂到直線x+y+2$\sqrt{2}$-1=0的距離為a可解得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）（i）由題意設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則D（-x₁，-y₁），由兩點(diǎn)求斜率公式可得是${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，把縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)替換可得答案；
（ii）由k₁k₂=k₃k₄．得到${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$．兩邊平方后用x替換y可得${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$．結(jié)合點(diǎn)B，C在橢圓上得到${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=3$．則OB²+OC²的值可求．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂（c，0），則c²=a²-b²（c＞0），
由題意，以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為（x-c）²+y²=a²，
∴圓心到直線x+y+2$\sqrt{2}$-1=0的距離$d=\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}=a$ ①，
∵橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，
∴$b=\sqrt{3}c$，a=2c，代入①式得，$c=1，b=\sqrt{3}，a=2$，
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）（i）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則D（-x₁，-y₁），
于是${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）-\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{3}{4}$；
（ii）由（i）知，${k}_{3}{k}_{4}={k}_{1}{k}_{2}=-\frac{3}{4}$，故${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$．
∴$\frac{9}{16}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）（4-{{x}_{2}}^{2}）$，
即${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}=16-4（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）+{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$．
又$2=（\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}）+（\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}）$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{3}$，故${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=3$．
∴OB²+OC²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=7$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．