Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=-2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（I）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，求直線l被圓C截得的弦長．

Answer 1

分析 （I）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=-2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1，即可化為普通方程，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標(biāo)方程．
（II）（II）直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開為：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ-ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程．由于圓心C（0，-2）滿足直線l的方程，直線l被圓C截得的弦長是圓的直徑．

解答 解：（I）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=-2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為x²+（y+2）²=4，展開為：x²+y²+4y=0，
化為極坐標(biāo)方程：ρ²+4ρsinθ=0，即ρ+4sinθ=0．
（II）直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開為：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ-ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程：x-y-2=0．
圓心C（0，-2）滿足直線l的方程0-（-2）-2=0，
∴直線l被圓C截得的弦長是圓的直徑：2×2=4．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．