Question

5．直線l₁過(guò)點(diǎn)M（-1，0），與拋物線y²=4x交于P₁、P₂兩點(diǎn)，P是線段P₁P₂的中點(diǎn)，直線l₂過(guò)P和拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)直線l₁的斜率為k．
（1）將直線l₂的斜率與直線l₁的斜率之比表示為k的函數(shù)f（k）；
（2）求出f（k）的定義域及單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)直線L₁的方程是y=k（x+1），然后與拋物線方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積，將直線L₁與該拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為△=（2k²-4）²-4k²•k²＞0且k≠0，進(jìn)而可得到k的范圍，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），可以得到直線L₁、直線L₂的斜率，記f（k）=$\frac{a+1}{a-1}$，再由a=$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，由此將直線l₂的斜率與直線l₁的斜率之比表示為k的函數(shù)f（k）；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，即可求出f（k）的定義域及單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）由已知條件可知，直線L₁的方程是y=k（x+1）①
把①代入拋物線方程y²=4x，
整理后得到k²x²+（2k²-4）x+k²=0②
因此，直線L₁與該拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是：（2k²-4）²-4k²•k²＞0③
及k≠0．④
解出③與④得到k∈（-1，0）∪（0，1）
現(xiàn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
則直線L₁的斜率k₁=$\frac{a+1}$，而直線L₂的斜率k₂=$\frac{a-1}$，
∴f（k）=$\frac{a+1}{a-1}$
今記L₁與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)P₁與P₂的橫坐標(biāo)分別為x₁和x₂，
由韋達(dá)定理及②得x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$（k∈（-1，0）∪（0，1））
∴a=$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，由此得到f（k）=$\frac{1}{1-{k}^{2}}$，k∈（-1，0）∪（0，1），
（2）定義域k∈（-1，0）∪（0，1），1-k²在（-1，0）內(nèi)遞增，在（0，1）內(nèi)遞減，
所以，f（k）=$\frac{1}{1-{k}^{2}}$在（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，在（-1，0）內(nèi)為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，要著重復(fù)習(xí)．