Question

8．已知不等式ax²+bx+2＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，求不等式2x²+bx+a≤0的解集[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 不等式ax²+bx+2＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，可得-1，2是一元二次方程ax²+bx+2=0的兩個實數(shù)根，且a＜0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a，b，即可得出．

解答 解：∵不等式ax²+bx+2＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，
∴-1，2是一元二次方程ax²+bx+2=0的兩個實數(shù)根，且a＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-\frac{a}}\\{-1×2=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，a＜0，解得a=-1，b=1．
則不等式2x²+bx+a∵≤0化為2x²+x-1≤0，
解得-1≤x≤$\frac{1}{2}$．
∴不等式2x²+bx+a≤0的解集為{x|-1≤x≤$\frac{1}{2}$}．
故答案為：[-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了計算能力，屬于中檔題．