Question

13．已知函數(shù)f（x）=-x²+mx-3（m∈R），g（x）=xlnx
（Ⅰ）若f（x）在x=1處的切線與直線3x-y+3=0平行，求m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）在[a，a+2]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）?x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m的方程，求出m的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為m≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），設(shè)h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-2x+m，
因?yàn)閒（x）在x=1處的切線與直線3x-y+3=0平行，
所以f′（1）=-2+m=3，得m=5；
（Ⅱ）g′（x）=1+lnx，
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

因?yàn)閍＞0，a+2-a=2，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g（x）在[a，$\frac{1}{e}$]單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{e}$，a+2]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)g（x）在[a，a+2]上的最小值g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
當(dāng)a≥$\frac{1}{e}$時(shí)，g（x）在[a，a+2]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)g（x）在[a，a+2]上的最小值g（a）=alna；
（Ⅲ）因?yàn)?x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，
即f（x）-2g（x（=-x²+mx-3-2xlnx≤0，
即m≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
設(shè)h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
只需m≤h（x）_min，
h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴h（1）_min=4，∴m≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．