Question

6．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求三棱錐B-EFC的體積；
（3）求二面角P-EC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PD中點(diǎn)G，連結(jié)GF、AG，由三角形中位線定理可得GF∥CD且$GF=\frac{1}{2}CD$，再由已知可得AE∥CD且$AE=\frac{1}{2}CD$，從而得到EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，然后利用線面平行的判定可得EF∥面PAD；
（2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，由面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥面ABCD，且$PO=\sqrt{3}$，求出F到面ABCD距離$d=\frac{PO}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，然后利用等積法求得三棱錐B-EFC的體積；
（3）連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，得到OM⊥EC．進(jìn)一步證得PM⊥EC，可得∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P-EC-D的正切值．

解答 （1）證明：取PD中點(diǎn)G，連結(jié)GF、AG，
∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且$GF=\frac{1}{2}CD$，
又AE∥CD且$AE=\frac{1}{2}CD$，∴GF∥AE且GF=AE，
∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，
又EF?面PAD，AG?面PAD，
∴EF∥面PAD；
（2）解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，
∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且$PO=\sqrt{3}$，
又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴F到面ABCD距離$d=\frac{PO}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故${V_{B-EFC}}={V_{F-BCE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$；
（3）解：連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，
∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．
連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，
即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，
在Rt△EBC中，$BM=\frac{BE•BC}{CE}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$OM=OB-BM=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，
∴$tan∠PMO=\frac{PO}{OM}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，即二面角P-EC-D的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查二面角的平面角及其求法，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．