Question

18．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=39，公差d=-2，前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=5，公比q=2，前n項(xiàng)和為T(mén)_n．如果從第m項(xiàng)開(kāi)始，對(duì)所有的n∈N^*都有T_n＞S_n，則m=7．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可得：S_n=-（n-20）²+400，且當(dāng)n=40時(shí)，S_n取得最大值400．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得T_n=5×2ⁿ-5．可知：T_n是關(guān)于n的單調(diào)遞增數(shù)列．當(dāng)n=6時(shí)，T₆＜400，當(dāng)n=7時(shí)，T₇=635＞400．即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=39，公差d=-2，
∴前n項(xiàng)和為S_n=$39n+\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）
=-n²+40n．
=-（n-20）²+400，
∴當(dāng)n=40時(shí)，S_n取得最大值400．
∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=5，公比q=2，
∴前n項(xiàng)和為T(mén)_n=$\frac{5（{2}^{n}-1）}{2-1}$=5×2ⁿ-5．
可知：T_n是關(guān)于n的單調(diào)遞增數(shù)列．
當(dāng)n=6時(shí)，T₆=5×2⁶-5=315，
當(dāng)n=7時(shí)，T₇=5×2⁷-5=635．
因此從第7項(xiàng)開(kāi)始，對(duì)所有的n∈N^*都有T_n＞S_n，則m=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．