Question

18．已知數列{a_n}是等差數列，首項a₁=39，公差d=-2，前n項和為S_n，數列{b_n}是等比數列，首項b₁=5，公比q=2，前n項和為T_n．如果從第m項開始，對所有的n∈N^*都有T_n＞S_n，則m=7．

Answer 1

分析 利用等差數列的前n項和可得：S_n=-（n-20）²+400，且當n=40時，S_n取得最大值400．利用等比數列的前n項和公式可得T_n=5×2ⁿ-5．可知：T_n是關于n的單調遞增數列．當n=6時，T₆＜400，當n=7時，T₇=635＞400．即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}是等差數列，首項a₁=39，公差d=-2，
∴前n項和為S_n=$39n+\frac{n（n-1）}{2}$×（-2）
=-n²+40n．
=-（n-20）²+400，
∴當n=40時，S_n取得最大值400．
∵數列{b_n}是等比數列，首項b₁=5，公比q=2，
∴前n項和為T_n=$\frac{5（{2}^{n}-1）}{2-1}$=5×2ⁿ-5．
可知：T_n是關于n的單調遞增數列．
當n=6時，T₆=5×2⁶-5=315，
當n=7時，T₇=5×2⁷-5=635．
因此從第7項開始，對所有的n∈N^*都有T_n＞S_n，則m=7．
故答案為：7．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的前n項和公式、數列的單調性、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．