Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）．
（1）證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（x）=ln（2+$\sqrt{5}$），求x的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)f（-x）=-f（x）即可證明；
（2）根據(jù)函數(shù)值，得到ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（2+$\sqrt{5}$），解的即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴函數(shù)的定義域為R，
∴f（-x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（$\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}$）=-ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵f（x）=ln（2+$\sqrt{5}$），
∴l(xiāng)n（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（2+$\sqrt{5}$），
∴x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$=2+$\sqrt{5}$，
解的x=2．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷和函數(shù)值的求法，屬于基礎題．