Question

10．已知函數(shù)$f（x）=cos（{2x-\frac{π}{3}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$．
（1）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最值；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足$c=\sqrt{3}$，f（C）=1，且sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）展開兩角和與差的正弦、余弦，然后利用輔助角公式化積，結(jié)合x的范圍求得函數(shù)的最值；
（2）由f（C）=1求得C值，再由正弦定理把已知等式化角為邊，結(jié)合余弦定理求得a、b的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos（{2x-\frac{π}{3}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+sin²x-cos²x
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-cos2x$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∵$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴2x-$\frac{π}{6}$$∈[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，
∴f（x）在2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$時(shí)，取最小值$-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
在2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，取最大值1；
（2）f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，
∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，則$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理得：b=2a，①
由余弦定理得：${c}^{2}={a}^{2}+^{2}-2ab•cos\frac{π}{3}$，
即c²=a²+b²-ab=3，②
解①②得：a=1，b=2．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，是中檔題．