Question

4．已知圓的極坐標方程為：ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系．
（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若點P（x，y）在該圓上，求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）展開利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²，即可得出直角坐標方程；
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方為：（x-2）²+（y-2）²=2．可得圓心C（2，2），半徑r=$\sqrt{2}$．求出|OC|，進而得出最值．

解答 解：（1）圓的極坐標方程為：ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，展開可得ρ²-4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）+6=0，可得直角標準方程：x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）由x²+y²-4x-4y+6=0配方為：（x-2）²+（y-2）²=2．
可得圓心C（2，2），半徑r=$\sqrt{2}$．
|OC|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴x²+y²的最大值和最小值分別為$（2\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}$，$（2\sqrt{2}-\sqrt{2}）^{2}$．即18；2．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、圓的標準方程、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．