4.已知函數(shù)$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{9,x≥3}\\{-{x^2}+6x,x<3}\end{array}}\right.$,則不等式f(x2-2x)<f(3x-4)的解集是(1,3).

分析 判斷f(x)在R上遞增,由f(x2-2x)<f(3x-4),可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x<3x-4}\\{3x-4≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x<3}\\{3x-4>3}\end{array}\right.$,解不等式即可得到所求解集.

解答 解:當x<3時,f(x)=-x2+6x=-(x-3)2+9,
即有f(x)遞增;
故f(x)在R上單調遞增.
由f(x2-2x)<f(3x-4),可得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x<3x-4}\\{3x-4≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x<3}\\{3x-4>3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{1<x<4}\\{x≤\frac{7}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1<x<3}\\{x>\frac{7}{3}}\end{array}\right.$,
即為1<x≤$\frac{7}{3}$或$\frac{7}{3}$<x<3,
即1<x<3.即有解集為(1,3).
故答案為:(1,3).

點評 本題考查分段函數(shù)的運用:解不等式,注意判斷函數(shù)的單調性和運用,考查轉化思想和二次不等式的解法,屬于中檔題和易錯題.

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