Question

19．如圖所示，△ABC中，AB⊥AC，AB=6，AC=8．邊AB，AC的中點(diǎn)分別為M，N．若O為線段MN上任一點(diǎn)，則$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$的取值范圍是[$-\frac{180}{11}，-9$]．

Answer 1

分析 分別以AC、AB所在直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)O（m，n），由$\overrightarrow{MO}=λ\overrightarrow{MN}$把O的坐標(biāo)用λ表示，再把$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)求解．

解答 解：如圖，分別以AC、AB所在直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

∵AB=6，AC=8，邊AB，AC的中點(diǎn)分別為M，N，
∴A（0，0），B（0，6），C（8，0），M（0，3），N（4，0），
設(shè)O（m，n），$\overrightarrow{MO}=λ\overrightarrow{MN}$，則（m，n-3）=λ（4，-3）（0≤λ≤1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=4λ}\\{n-3=-3λ}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{m=4λ}\\{n=3-3λ}\end{array}\right.$，
∴O（4λ，3-3λ），
則$\overrightarrow{OA}=（-4λ，3λ-3），\overrightarrow{OB}=（4λ，3λ+3）$，$\overrightarrow{OC}=（8-4λ，3λ-3）$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=4λ（8-4λ）+（3λ+3）（3λ-3）-4λ•4λ+（3λ+3）（3λ-3）-4λ（8-4λ）+（3λ-3）²
=11λ²-18λ-9（0≤λ≤1）．
對(duì)稱軸方程為$λ=\frac{9}{11}$，
∴當(dāng)$λ=\frac{9}{11}$時(shí)，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$有最小值為$-\frac{180}{11}$，當(dāng)λ=0時(shí)，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$有最大值為-9．
故答案為：[$-\frac{180}{11}，-9$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．