Question

9．已知f（x）=$\frac{a+ln（2x+1）}{2x+1}$．
（Ⅰ）若曲線f（x）在x=0處的切線與直線x-2y-2016=0垂直，求y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若關(guān)于t的方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t在x$∈[\frac{e-1}{2}，\frac{{e}^{2}-1}{2}]$時恒有3個不同的實數(shù)根，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得在x=0處切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a，再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，即可得到所求的極值；
（Ⅱ）方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t，即為2-2a-2ln（1+2x）=t³-12t，由x的范圍求得左邊的范圍，再由導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的極值，可得-16＜-2-2a＜-2a＜16，解不等式可得所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{a+ln（2x+1）}{2x+1}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{2-2a-2ln（1+2x）}{（1+2x）^{2}}$，
即有f（x）在x=0處的切線斜率為2-2a，
由切線與直線x-2y-2016=0垂直，可得
2-2a=-2，解得a=2，
即有f（x）=$\frac{2+ln（1+2x）}{2x+1}$，f′（x）=$\frac{-2-2ln（1+2x）}{（1+2x）^{2}}$，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2e}$-$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2e}$-$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=$\frac{1}{2e}$-$\frac{1}{2}$處取得極大值，且為e；
（Ⅱ）方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t，即為2-2a-2ln（1+2x）=t³-12t，
由x$∈[\frac{e-1}{2}，\frac{{e}^{2}-1}{2}]$時，可得2-2a-2ln（1+2x）∈[-2-2a，-2a]，
由t³-12t的導(dǎo)數(shù)為3t²-12=3（t+2）（t-2），
可得-2＜t＜2時，t³-12t遞減；t＞2或t＜-2時，t³-12t遞增．
即有t=-2處取得極大值，且為16；t=2處取得極小值，且為-16．
關(guān)于t的方程（2x+1）²f′（x）=t³-12t在x$∈[\frac{e-1}{2}，\frac{{e}^{2}-1}{2}]$時恒有3個不同的實數(shù)根．
即為2-2a-2ln（1+2x）=t³-12t在t∈R有三個實根，
即有y=t³-12t與y=2-2a-2ln（1+2x）有三個零點．
由題意可得-16＜-2-2a＜-2a＜16，
解得-8＜a＜7．
則a的取值范圍是（-8，7）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．