Question

17．將一張長(zhǎng)8cm，寬6cm的長(zhǎng)方形的紙片沿著一條直線折疊，如圖1，圖2，不考慮其它情況，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．記折痕長(zhǎng)為lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：3，求l的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AN=x，AM=y，則x²+y²=16，從而利用基本不等式求最大值；
（2）S₁=$\frac{1}{4}$×8×6=12，當(dāng)AMN構(gòu)成三角形時(shí)，xy=24，從而可得y=$\frac{24}{x}$（3≤x≤6）；從而化簡(jiǎn)為t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$，從而討論函數(shù)的單調(diào)性可得48≤l²≤73，且l的大小連續(xù)，易知l的最小值為6＜4$\sqrt{3}$，從而求得．

解答 解：（1）當(dāng)l=4時(shí)，AMN構(gòu)成三角形，
設(shè)AN=x，AM=y，則x²+y²=16，
故S₁=$\frac{1}{2}$xy≤$\frac{1}{2}$$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=4，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2$\sqrt{2}$時(shí)，等號(hào)成立）；
故S₁的最大值為4cm²；
（2）S₁=$\frac{1}{4}$×8×6=12，
當(dāng)AMN構(gòu)成三角形時(shí)，
設(shè)AN=x，AM=y，則S₁=$\frac{1}{2}$xy=12，
故xy=24，故y=$\frac{24}{x}$（3≤x≤6）；
x²+y²=x²+$\frac{2{4}^{2}}{{x}^{2}}$，
令t=x²，（9≤t≤36），
故x²+$\frac{2{4}^{2}}{{x}^{2}}$=t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$，
故t+$\frac{2{4}^{2}}{t}$在[9，24]上是減函數(shù)，在[24，36]上是增函數(shù)；
且9+$\frac{2{4}^{2}}{9}$=73，24+24=48，36+$\frac{2{4}^{2}}{36}$=52，
故48≤l²≤73，
故4$\sqrt{3}$≤l≤$\sqrt{73}$；
且l的大小連續(xù)，易知l的最小值為6＜4$\sqrt{3}$，
故6≤l≤$\sqrt{73}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及基本不等式的解法與應(yīng)用．