Question

16．在正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點(diǎn)滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1），將△AEF折起到△A₁EF的位置上，連接A₁B，A₁C（如圖2）
（Ⅰ）求證：FP∥面A₁EB；
（Ⅱ）求證：EF⊥A₁B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，得FP∥BE，由此能證明FP∥平面A₁EB．
（Ⅱ）設(shè)正三角形ABC的邊長為3，則AE=1，AF=2，由余弦定理得EF=$\sqrt{3}$，由勾股定理得EF⊥AB，又EF⊥A₁E，EF⊥BE，由此能證明EF⊥A₁B．

解答 證明：（Ⅰ）∵正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點(diǎn)滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，
∴FP∥BE，
又BE?平面A₁EB₁，F(xiàn)D?平面A₁EB，
∴FP∥平面A₁EB．
（Ⅱ）設(shè)正三角形ABC的邊長為3，則AE=1，AF=2，
∵∠EAF=60°，∴EF²=AE²+AF²-2AE•AFcos∠EAF=1+4-2×1×2×cos60°=3，
∴EF=$\sqrt{3}$，
在△ABF中，AF²=AE²+EF²，∴EF⊥AE，∴EF⊥AB，
則在圖2中，有EF⊥A₁E，EF⊥BE，
∴EF⊥面A₁EB，
又∵A₁B?面A₁EB₁，∴EF⊥A₁B．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、線線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．