Question

已知函數f（x）=alnx+

2

x

+x，若f（x）在區(qū)間[1，+∞）內單調遞增，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：先求出f（x）的導函數，由f（x）在區(qū)間[1，+∞）內單調遞增，得f′（x）≥0恒成立，求出a的取值范圍．

解答： 解：f′(x)=

a

x

-

2

x2

+1=

x2+ax-2

x2

，
令g（x）=x²+ax-2，∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）內單調遞增，∴f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
即g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，又∵g（x）過點（0，-2）且開口向上，
∴只需滿足g（1）=1+a-2≥0，解得a≥1．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題考查的是導數在研究函數單調性上的應用，運用了二次函數的有關性質．屬于基礎題．