Question

已知P（x，y）滿足約束條件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（3，4），則|

OP

|•cos∠AOP的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，利用向量的數(shù)量積將|

OP

|•cos∠AOP轉(zhuǎn)化成

3x+4y

5

，設(shè)z=

3x+4y

5

，再利用z的幾何意義求最值

解答： 解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP •| OA cos∠AOP||

| OA |

=

OP • OA

| OA |

=

(3，4)•(x，y)

5

=

3x+4y

5

，
令 z=

1

5

（3x+4y），則3x+4y=5z，
平移直線3x+4y=0，
由圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)B時(shí)，直線3x+4y=5z的截距最大，此時(shí)z取到最大值，
由

x=1 x+y-3=0

，解得x=1，y=2，
即B（1，2），代入 z=

1

5

（3x+4y）=

3+8

5

=

11

5

所以|

OP

|•cos∠AOP的最大值為

11

5

故答案為：

11

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值．巧妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問(wèn)題的介入是線性規(guī)劃問(wèn)題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問(wèn)題得以深化．