Question

1．如圖，曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（y≤0）；曲線C₂：x²=4y，自曲線C₁上一點A作C₂的兩條切線，切點分別為B，C．
（Ⅰ）當(dāng)AB⊥AC時，求點A的縱坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)△ABC面積最大值時，求直線BC的概率k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過設(shè)B（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），對y=$\frac{{x}^{2}}{4}$求導(dǎo)函數(shù)，計算可得A（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過設(shè)l_BC：y=kx+b，并與曲線C₂聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得|x₁-x₂|=$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$，A（2k，-b），k²+b²=4（0≤b≤2），根據(jù)三角形面積公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)B（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
由y=$\frac{{x}^{2}}{4}$可知y′=$\frac{1}{2}$x，
過B點的切線為：y=$\frac{{x}_{1}x}{2}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，
過C點的切線為：y=$\frac{{x}_{2}x}{2}$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，
則A（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），
從而$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$，$\frac{{x}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{4}$），
∵AB⊥AC，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，
即$\frac{-（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$+$\frac{-{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{16}$=0，解得$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=-1，
∴點A的縱坐標(biāo)為-1；
（Ⅱ）設(shè)l_BC：y=kx+b，并與曲線C₂聯(lián)立，
消去y得：x²-4kx-4b=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
則|x₁-x₂|=$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$，A（2k，-b），$\frac{4{k}^{2}}{16}+\frac{^{2}}{4}=1$，
則k²+b²=4（0≤b≤2），
又A到直線BC的距離d=$\frac{|-2{k}^{2}-2b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|$\frac{|-2{k}^{2}-2b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16b}$|k²+b|=4$（{k}^{2}+b）^{\frac{3}{2}}$
=4$（4-^{2}+b）^{\frac{3}{2}}$=4$[{-（b-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{17}{4}]}^{\frac{3}{2}}$≤$\frac{17\sqrt{17}}{2}$，
∴當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時△ABC面積取最大值，
此時k²=4-b²=$\frac{15}{4}$，解得直線BC的概率k=±$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，涉及韋達(dá)定理、點到直線的距離、斜率、配方法、向量數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．