Question

9．如圖，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC=3，BC=2$\sqrt{5}$，AA₁=$\sqrt{7}$，BB₁=2$\sqrt{7}$，點E和F分別為BC和A₁C的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面A₁B₁BA；
（Ⅱ）求證：平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（Ⅲ）求直線A₁B₁與平面BCB₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接A₁B，易證EF∥A₁B，由線面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）易證AE⊥BC，BB₁⊥AE，可證AE⊥平面BCB₁，進而可得面面垂直；
（Ⅲ）取BB₁中點M和B₁C中點N，連接A₁M，A₁N，NE，易證∠A₁B₁N即為直線A₁B₁與平面BCB₁所成角，解三角形可得．

解答 （Ⅰ）證明：連接A₁B，在△A₁BC中，
∵E和F分別是BC和A₁C的中點，∴EF∥A₁B，
又∵A₁B?平面A₁B₁BA，EF?平面A₁B₁BA，
∴EF∥平面A₁B₁BA；
（Ⅱ）證明：∵AB=AC，E為BC中點，∴AE⊥BC，
∵AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，∴BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AE，又∵BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面BCB₁，
又∵AE?平面AEA₁，∴平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（Ⅲ）取BB₁中點M和B₁C中點N，連接A₁M，A₁N，NE，
∵N和E分別為B₁C和BC的中點，∴NE平行且等于$\frac{1}{2}$B₁B，
∴NE平行且等于A₁A，∴四邊形A₁AEN是平行四邊形，
∴A₁N平行且等于AE，
又∵AE⊥平面BCB₁，∴A₁N⊥平面BCB₁，
∴∠A₁B₁N即為直線A₁B₁與平面BCB₁所成角，
在△ABC中，可得AE=2，∴A₁N=AE=2，
∵BM∥AA₁，BM=AA₁，∴A₁M∥AB且A₁M=AB，
又由AB⊥BB₁，∴A₁M⊥BB₁，
在RT△A₁MB₁中，A₁B₁=$\sqrt{{B}_{1}{M}^{2}+{A}_{1}{M}^{2}}$=4，
在RT△A₁NB₁中，sin∠A₁B₁N=$\frac{{A}_{1}N}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁B₁N=30°，即直線A₁B₁與平面BCB₁所成角的大小為30°

點評 本題考查線面垂直與平行關系的證明，涉及直線與平面所成的角，屬中檔題．