（本小題14分）已知點，的坐標分別為，.直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設是曲線上的動點，直線，分別交直線于點，線段的中點為，求直線與直線的斜率之積的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，記直線與的交點為，試探究點與曲線的位置關系，并說明理由.

（1）（），（2），（3）點在曲線上

【解析】

試題分析：首先設動點，利用直接法依據(jù)斜率之積等于，求出點的軌跡方程，注意這個條件即可；第二步設直線的斜率為，則由題可得直線的斜率為，用點斜式寫出的方程，與聯(lián)立得出的坐標，得出中點的坐標，最后寫出斜率之積求出范圍即可；第三步由于斜率之積為，所以交點在曲線C上.

試題解析：（1）設動點，則（且）

所以曲線的方程為（）.

（2）設直線的斜率為，則由題可得直線的斜率為，

所以直線的方程為，令，則得，直線的方程為，令，則得，∴線段的中點，∴

故∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為

（3）由（2）得，，，

∴ ，

∴ ∴ 點在曲線上.

考點：1.求軌跡方程；2.兩條直線的交點；3.取值范圍問題；

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