Question

13．（1）已知函數(shù)f（x）=|x+2a|+|x-$\frac{2}{a}$|≥5（a＞0）對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）=3$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{4-x}$的最大值及g（x）取最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)公式求解即可；
（2）利用柯西不等式求解，并判斷等號(hào)成立的條件．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴|x+2a|+|x-$\frac{2}{a}$|≥|（x+2a）-（x-$\frac{2}{a}$）|=2a+$\frac{2}{a}$≥5，
∴0＜a$≤\frac{1}{2}$或a≥2．
（2）g（x）=3$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{4-x}$≤$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}\sqrt{（{\sqrt{x-3}）}^{2}+（\sqrt{4-x}）^{2}}$=5，
當(dāng)且僅當(dāng)4$\sqrt{x-3}$=3$\sqrt{4-x}$時(shí)，即x=$\frac{84}{25}$時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)x=$\frac{84}{25}$時(shí)，g（x）有最大值5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、柯西不等式的應(yīng)用，難點(diǎn)是學(xué)生的運(yùn)算求解能力．