Question

9．已知z是復(fù)數(shù)，z+2i，$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，代入z+2i，$\frac{z}{2-i}$化簡后根據(jù)均為實(shí)數(shù)，列出關(guān)于x，y 的方程組解之；
（2）由（1）得到復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，化簡后根據(jù)實(shí)部大于0，虛部小于0，列出不等式組解之．

解答 解：（1）設(shè)z=x+yi，z+2i=x+（y+2）i，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{x+yi}{2-i}=\frac{（x+yi）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2x-y+（x+2y）i}{5}$，
由z+2i，$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)，得到$\left\{\begin{array}{l}{y+2=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$，解得x=4，y=-2，
所以z=4-2i；
（2）由（1）得到復(fù)數(shù)（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+2（a-2）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．
所以$\left\{\begin{array}{l}{16-（a-2）^{2}＞0}\\{2（a-2）＜0}\end{array}\right.$解得-2＜a＜2，所以a的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義；屬于基礎(chǔ)題．