Question

6．如圖，設(shè)拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與y軸相交于點(diǎn)Q，設(shè)P為拋物線上的一點(diǎn)，若$|{PQ}|=\sqrt{2}|{PF}|$，則△PQF的面積為2．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，求得Q（0，-1），設(shè)P（m，$\frac{1}{4}$m²），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，解方程可得m=2，運(yùn)用三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線y=-1，
由題意可得Q（0，-1），
設(shè)P（m，$\frac{1}{4}$m²），由|PQ|=$\sqrt{2}$|PF|，
可得$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$，
解得m=2，
則△PQF的面積為$\frac{1}{2}$|FQ|•|x_P|=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．