Question

5．已知：如圖在四梭椎P-ABCD中PD垂直于正方形ABCD所在的平面，E是AP的中點．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）若點D在PC上的射影為F，求證：平面DEF⊥平面PCB；
（3）若PD=AD=1，問P、A、B、C、D五點能否在同一球面上，如果在，請指出球心的位置；并求出此球的球面面積；如果不能，請說明理．

Answer 1

分析 （1）根據線面平行的判定定理即可證明PC∥平面EBD；
（2）若點D在PC上的射影為F，利用面面垂直的判定定理即可證明平面DEF⊥平面PCB；
（3）根據球的定義確定球心的位置即可．

解答 解：（1）設AC交BD于0，連結EO，即可證明EO∥PC，
則PC∥平面EBD；
（2）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵BC⊥DC，且DC∩BC=C，
∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥DF，
∵DF⊥PC，
∴DF⊥平面PCB，
∵DF?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PCB
（3）在以PB為直徑的球面上，球心是PB的中點，
∵PD=AD=DC=1，
∴PB=$\sqrt{3}$，球的半徑R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴球的表面積S=4$π{R}^{2}=4π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=3π$．

點評 本題主要考查空間直線和平面平行和面面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理是解決本題的關鍵．