Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$是奇函數(shù)，且f（1）=-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x）恒成立，結(jié)合f（1）=-2，求出p，q，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增的，利用導(dǎo)數(shù)法，易證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}+2x}$=-$\frac{p{x}^{2}+2}{q{x}^{2}-2x}$，
解得：q=0，
又∵f（1）=-2．
∴$\frac{p+2}{-2}$=-2，
∴p=2，
∴f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{-2x}$=$-\frac{{x}^{2}+1}{x}$；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增的，理由如下：
∵f（x）=$-\frac{{x}^{2}+1}{x}$；
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）在（0，1）上是單調(diào)遞增的．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性及奇偶性，函數(shù)解析式的求法，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．