Question

1．已知sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的兩實根．求：
（1）m的值；
（2）當α∈（0，π）時，求cot（3π-α）的值；
（3）sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）利用韋達定理表示出sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
（2）當α∈（0，π）時，判斷角的范圍，利用（1）的結果求出tanα，然后利用誘導公式求cot（3π-α）的值即可．
（3）利用（1）的結果化簡求解即可．

解答 解：（1）∵sinα和cosα是方程5x²-x+m=0的兩實根，
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，
∵（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα，
∴$\frac{1}{25}$=1+$\frac{2m}{5}$，
解得：m=-$\frac{12}{5}$．
（2）sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$；α是鈍角，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，解得tanα=-$\frac{4}{3}$．
當α∈（0，π）時，cot（3π-α）=-cotα=$\frac{3}{4}$．
（3）sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$；
sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=$\frac{1}{5}×（1+\frac{12}{25}）$=$\frac{37}{125}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．