Question

18．設(shè)△ABC中的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且asinB=2sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2}{3}$，則b等于（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，結(jié)合$\frac{A}{2}$的范圍，可求sin$\frac{A}{2}$的值，由二倍角公式可求sinA的值，求得asinB=2sin$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，利用正弦定理即可得解b的值．

解答 解：∵A∈（0，π），$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴sin$\frac{A}{2}$=$\sqrt{1-co{s}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinA=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=2×$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
∵asinB=2sin$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\frac{4\sqrt{5}}{9}}$=$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．