Question

【題目】已知橢圓E：1（a＞0）的中心為原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，點(diǎn)P是直線x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓E上，且滿足0．

（1）試求出實(shí)數(shù)a；

（2）設(shè)直線PQ與直線OQ的斜率分別為k1與k2，求積k1k2的值；

（3）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作動直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H，滿足，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上．

Answer 1

【答案】（1）a＝3（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率列方程求出實(shí)數(shù)a的值；

（2）由（1）可設(shè)點(diǎn)P（，t），Q（x0，y0），根據(jù)0得出再由點(diǎn)Q在橢圓E上得出，用斜率公式及可求出k1k2的值；

（3）設(shè)過P（，1）的直線l與橢圓交于兩個不同點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），

點(diǎn)H（x，y），代入橢圓方程得出，，再設(shè)λ，即，，代入數(shù)據(jù)整理即可得出點(diǎn)H恒在一條定直線上．

（1）解：設(shè)橢圓E的半焦距為c，

由題意可得，解得a＝3；

（2）解：由（1）可知，直線x，點(diǎn)F1（，0）．

設(shè)點(diǎn)P（，t），Q（x0，y0），

∵0，∴（，﹣t）（x0，﹣y0）＝0，

得．

∵點(diǎn)Q（x0，y0）在橢圓E上，∴，即．

∴k1k2，

∴k1k2的值是；

（3）證明：設(shè)過P（，1）的直線l與橢圓交于兩個不同點(diǎn)M（x1，y1），

N（x2，y2），點(diǎn)H（x，y），則，，

設(shè)λ，則，，

∴（x1，y1﹣1）＝λ（x2，y2﹣1），（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），

整理得，x，1，y，

從而，y，

由于，，

∴9y36．

∴點(diǎn)H恒在直線．