Question

7．如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為（　　）

• A． y²=3x
• B． y²=9x
• C． y²=$\frac{3}{2}$x
• D． y²=$\frac{9}{2}$x

Answer 1

分析 根據(jù)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，根據(jù)|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和拋物線的定義，可得∠NCB=30°，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|BF|=x，而x₁+$\frac{p}{2}$=3，x₂+$\frac{p}{2}$=1，且x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，即有（3-$\frac{p}{2}$）（1-$\frac{p}{2}$）=$\frac{{p}^{2}}{4}$，可求得p的值，即求得拋物線的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，則|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
設(shè)|BF|=x，則2x+x+3=6⇒x=1，
而x₁+$\frac{p}{2}$=3，x₂+$\frac{p}{2}$=1，且x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴（3-$\frac{p}{2}$）（1-$\frac{p}{2}$）=$\frac{{p}^{2}}{4}$，解得p=$\frac{3}{2}$．
得y²=3x．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)中檔題．考查拋物線的定義以及待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，特別是解析幾何，一定注意對(duì)幾何圖形的研究，以便簡(jiǎn)化計(jì)算．