Question

6．如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)AD=1，D₁D=λ（λ＞0），若棱C₁C上存在唯一的一點(diǎn)P滿足A₁P⊥PB，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 以點(diǎn)D為原點(diǎn)O，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出實(shí)數(shù)λ的值．

解答 解：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)O，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，λ），
設(shè)P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，
因?yàn)锳₁P⊥PB，
所以$\overrightarrow{{A_1}P}•\overrightarrow{BP}=0$，即（-1，1，x-λ）•（-1，0，x）=0，
化簡(jiǎn)得x²-λx+1=0，x∈[0，λ]，
由點(diǎn)P（0，1，x）的唯一性知方程x²-λx+1=0只有唯一解，
所以，判別式△=λ²-4=0，且λ＞0，
解得λ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．