Question

12．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且f（3）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集是（-3，0）∪（0，3）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性直接利用數(shù)形結(jié)合求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，當(dāng)x＞0時(shí)，有g(shù)′（x）=$\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＜0$成立，可得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，在x＞0時(shí)是減函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（3）=0，
∴g（x）是偶函數(shù)，且g（-3）=g（3）=0．
則當(dāng)x＞0時(shí)，不等式xf（x）＞0等價(jià)為x²•$\frac{f（x）}{x}$＞0，即x²•g（x）＞0，即g（x）＞0，
則當(dāng)x＜0時(shí)，不等式xf（x）＞0等價(jià)為x²•$\frac{f（x）}{x}$＞0，即x²•g（x）＞0，即g（x）＞0，
作出g（x）對應(yīng)的草圖如圖：
則不等式g（x）＞0的解集是：（-3，3）．
當(dāng)x=0時(shí)，不等式xf（x）＞0不成立，
故不等式xf（x）＞0的解集是：（-3，0）∪（0，3）．
故答案為：（-3，0）∪（0，3）．

點(diǎn)評 本題考查不等式的求解，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 單調(diào)性，以及利用數(shù)形結(jié)合的思想與方法是解決本題的關(guān)鍵．