Question

16．在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，且AB=1，EF=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{5}$，若$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=15，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值為（　　）

• A． 13
• B． 14
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 可作出圖形，設(shè)AB∩DC=O，根據(jù)向量加法及數(shù)乘的幾何意義便可得到$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}+\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}+\frac{\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}}{2}$，從而得出$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{EF}$，根據(jù)條件，兩邊平方即可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}=1$．而$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，從而根據(jù)$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=15$便可以得到$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=15+\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$，從而便可以求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=（15+\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}）$$-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}$=$15-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}$=14．

解答 解：如圖所示，

設(shè)AB∩DC=O，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{EF}+\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EF}+\frac{\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{EF}$；
∵$AB=1，EF=\sqrt{2}，CD=\sqrt{5}$，平方得，$1+5+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}=8$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}=1$；
又$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=15$；
即$（\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）$=$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=15$；
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$15+\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}）$
=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}$$+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=$（15+\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}）$$-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}$
=$15+（\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}）•\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}）$
=$15-\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{DC}$
=$15+（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）•\overrightarrow{DC}$
=$15-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}$
=15-1
=14．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算．