Question

函數(shù)f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象過點(diǎn)（

π

6

，0），且相鄰兩條對(duì)稱軸間距離為

π

2

．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）試求函數(shù)y=f²（

1

2

x）+

1

2

的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=sin（ωx-φ），由對(duì)稱軸可得ω=2，代點(diǎn)可得φ值，可得解析式（2）化簡可得y=1-

1

2

cos（2x-

2π

3

），由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π解不等式可得單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin（ωx-φ），
∵相鄰兩條對(duì)稱軸間距離為

π

2

，∴

2π

ω

=π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x-φ），又y=f（x）圖象過點(diǎn)（

π

6

，0），
∴2×

π

6

-φ=kπ，k∈Z，∴φ=

π

3

-kπ，
又0＜φ＜π，∴φ=

π

3

，∴f（x）=sin（2x-

π

3

）；
（2）可得y=f²（

1

2

x）+

1

2

=sin²（x-

π

3

）+

1

2

=

1-cos(2x- 2π 3 )

2

+

1

2

=1-

1

2

cos（2x-

2π

3

），
由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
∴函數(shù)y=f²（

1

2

x）+

1

2

的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．