Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_k是以4為首項(xiàng)、-2為公差的等差數(shù)列，a_k+1，a_k+2，…，a_2k是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列（k≥3，k∈N^*），且對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n+2k=a_n成立，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）當(dāng)k=5時(shí)，求a₄₈的值；
（2）判斷是否存在k，使S_4k+3≥18．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出a_k，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出a_k+n，再由a_n+2k=a_n，得數(shù)列{a_n}為周期是2k的數(shù)列，由此求出a₄₈；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的周期性，化簡(jiǎn)并判斷使a_4k+3≥18是否成立．

解答 解：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得
a_k=4+（k-1）•（-2）=-2k+6；
根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得
a_k+k=$\frac{1}{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{k-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{k}$；
又∵對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n+2k=a_n成立，
∴數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，且周期為2k；
當(dāng)k=5時(shí)，周期為10，
∴a₄₈=a₈=a₅₊₃，
∴a₄₈是等比數(shù)列中的第三項(xiàng)，
∴a₄₈=${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$；
（2）假設(shè)存在k，使a_4k+3≥18成立，
∵數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，且周期為2k，
∴a_4k+3=a₃=0≥18不成立，
即不存在k使a_4k+3≥18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差與等比數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了歸納方法的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．