Question

已知向量

a

=（

1

2

cos²x+1，1），

b

=（1，

3

2

sinx•cosx）．
（1）若y=

a

•

b

，求y的周期；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

4

]，求y的最值，并求出y取得最值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡函數(shù)式，再由周期公式即可得到；
（2）由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值及對應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）y=

a

•

b

=

1

2

cos²x+1+

3

2

sinx•cosx
=1+

1

4

（1+cos2x）+

3

4

sin2x
=

5

4

+

1

2

（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)，
則周期為

2π

2

=π；
（2）由于x∈[-

π

6

，

π

4

]，則2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則當(dāng)x=-

π

6

時(shí)，y取得最小值

5

4

-

1

4

=1，
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，y取得最大值

5

4

+

1

2

=

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，考查三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的周期公式和最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．