Question

15．如圖AB是圓O的一條弦，過點A作圓的切線AD，作BC⊥AC，與該圓交于點D，若AC=2$\sqrt{3}$，CD=2．
（1）求圓O的半徑；
（2）若點E為AB中點，求證O，E，D三點共線．

Answer 1

分析 （1）取BD中點為F，連結OF，求出BC，可得BF，利用勾股定理求圓O的半徑；
（2）證明四邊形OADB為平行四邊形，利用E為AB的中點，即可證明O，E，D三點共線．

解答 （1）解：取BD中點為F，連結OF，由題意知，OF∥AC，OF=AC．
∵AC為圓O的切線，BC為割線，
∴CA²=CD•CB，
由$AC=2\sqrt{3}，CD=2$，∴BC=6，
∴BD=4，BF=2
在Rt△OBF中，由勾股定理得，$r=OB=\sqrt{O{F^2}+B{F^2}}=4$．（5分）
（2）證明：由（1）知，OA∥BD，OA=BD
∴四邊形OADB為平行四邊形，
又∵E為AB的中點，
∴OD與AB交于點E，
∴O，E，D三點共線．（5分）

點評 本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質，切割線定理等內容．本小題重點考查考生對平面幾何推理能力．