Question

3．已知直線l：y=x+2與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）設(shè)雙曲線C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|BF|•|DF|=17，試判斷△ABD是否為直角三角形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線y=x+2和雙曲線聯(lián)立方程，利用中點(diǎn)公式，求出雙曲線離心率．
（2）利用（1）問關(guān)系列出|BF|、|DF|的關(guān)系式，進(jìn)而解出a的值，然后利用圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，l的方程為：y=x+2，
化入C的方程，并化簡，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
設(shè)B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{a}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{4{a}^{2}+{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$①
由M（1，3）為BD的中點(diǎn)知$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，
故$\frac{1}{2}×\frac{4{a}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}=1$，即b²=3a²，②
故$c=\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=2a$，所以C的離心率$e=\frac{c}{a}=2$．
（Ⅱ）由①、②知，C的方程為：3x²-y²=3a²，
A（a，0），F(xiàn)（2a，0），x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{4+3{a}^{2}}{2}＜0$，
故不妨設(shè)x₁≤-a，x₂≥a，
$|BF|=\sqrt{（{x}_{1}-2a）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-2a）^{2}+3{x}_{1}^{2}-3{a}^{2}}$=a-2x₁，
$|FD|=\sqrt{（{x}_{2}-2a）^{2}+{y}_{2}^{2}=}$$\sqrt{（{x}_{2}-2a）^{2}+3{x}_{2}^{2}-3{a}^{2}}$=2x₂-a，
|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²=5a²+4a+8，
又|BF|•|FD|=17，
故5a²+4a+8=17，解得a=1或a=$-\frac{9}{5}$（舍去），
故|BD|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{4+4×\frac{7}{2}}$=6，
連結(jié)MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，
且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切．
所以過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．∴△ABD為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的離心率的求解和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，高考中歷年常考．屬高考?jí)狠S大題．