Question

12．設直線l：y=5x+2是曲線C：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+2x+m的一條切線，g（x）=ax²+2x-25．
（1）求切點坐標及m的值；
（2）當m∈Z時，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設直線l與曲線C相切于點P（x₀，y₀），利用導數(shù)的幾何意義可得f′（x₀）=5即可解得切點的橫坐標x₀，進而得到切點坐標及m的值；
（2）由m∈Z，可得m=13，設h（x）=f（x）-g（x），則存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤0，利用導數(shù)和分類討論即可得出．

解答 （1）解：設直線l與曲線C相切于點P（x₀，y₀），
∵f′（x）=x²-2x+2∴x₀²-2x₀+2=5，解得x₀=-1或x₀=3，
代入直線l方程，得切點P坐標為（-1，-3）或（3，17），
∵切點P在曲線C上，∴m=$\frac{1}{3}$或m=11，
綜上可知，切點P（-1，-3），m=$\frac{1}{3}$或者切點P（3，17），m=11．           
（2）∵m∈Z，∴m=11，
設h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+a）x²+36，
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，則只要h（x）_min≤0，
h′（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，
①當1+a=0即a=-1時，h′（x）=x²≥0，h（x）是增函數(shù)，h（x）_min=36＞0不合題意．               
②若1+a＞0即a＞-1，
令h′（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函數(shù)，
令h′（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），∴h（x）在[0，2（1+a）]上是減函數(shù)，
∴h（x）_min=h（2（1+a）），
令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，
③若1+a＜0即a＜-1，
令h′（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，又∵x∈[0，+∞），
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（0），令h（0）≤0，不等式無解，∴a不存在，
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值、導數(shù)的幾何意義，學會分類討論．