Question

10．從2016年1月1日起，湖北、廣東等18個(gè)保監(jiān)局所轄地區(qū)將納入商業(yè)車(chē)險(xiǎn)改革試點(diǎn)范圍，其中最大的變化是上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，具體關(guān)系如下表：

上一年的出險(xiǎn)次數(shù)	0	1	2	3	4	5次以上（含5次）
下一年保費(fèi)倍率	85%	100%	125%	150%	175%	200%
連續(xù)兩年沒(méi)有出險(xiǎn)打7折，連續(xù)三年沒(méi)有出險(xiǎn)打6折

經(jīng)驗(yàn)表明新車(chē)商業(yè)車(chē)險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車(chē)價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的8組數(shù)據(jù)（x，y）（其中x（萬(wàn)元）表示購(gòu)車(chē)價(jià)格，y（元）表示商業(yè)車(chē)險(xiǎn)保費(fèi)）：（8，2150）、（11，2400）、（18，3140）、（25，3750）、（25，4000）、（31，4560）、（37，5500）、（45，6500），設(shè)由這8組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+1055
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）有評(píng)估機(jī)構(gòu)從以往購(gòu)買(mǎi)了車(chē)險(xiǎn)的車(chē)輛中隨機(jī)抽取1000 輛調(diào)查，得到一年中出險(xiǎn)次數(shù)的頻數(shù)分布如下（并用相應(yīng)頻率估計(jì)車(chē)輛2016 年度出險(xiǎn)次數(shù)的概率）：

一年中出險(xiǎn)次數(shù)	0	1	2	3	4	5次以上（含5次）
頻數(shù)	500	380	100	15	4	1

湖北的李先生于2016 年1月購(gòu)買(mǎi)了一輛價(jià)值20 萬(wàn)元的新車(chē)．根據(jù)以上信息，試估計(jì)該車(chē)輛在2017 年1月續(xù)保時(shí)應(yīng)繳交的保費(fèi)（精確到元），并分析車(chē)險(xiǎn)新政是否總體上減輕了車(chē)主負(fù)擔(dān)．（假設(shè)車(chē)輛下一年與上一年都購(gòu)買(mǎi)相同的商業(yè)車(chē)險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行續(xù)保）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出樣本中心，代入回歸方程解出b；
（Ⅱ）求出下一年車(chē)險(xiǎn)倍率X的分布列，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，得出車(chē)主下一年的保費(fèi)，根據(jù)X的數(shù)學(xué)期望是否大于1得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）$\overline x=\frac{1}{8}（8+11+18+25+25+31+37+45）=\frac{200}{8}=25$萬(wàn)元，$\overline y=\frac{1}{8}（2150+2400+3140+3750+4000+4560+5500+6500）=\frac{3200}{8}=4000$元，…..2分
直線$\widehaty=b\widehatx+1055$經(jīng)過(guò)樣本中心$（\overline x，\overline y）$，即（25，4000）．
∴$b=\frac{\overline y-1055}{\overline x}=\frac{4000--1055}{25}=117.8$．…..5分
（Ⅱ）設(shè)該車(chē)輛2017 年的保費(fèi)倍率為X，則X 為隨機(jī)變量，X 的取值為0.85，1，1.25，1.5，1.75，2．…7 分
且 X 的分布列為

X	0.85	1	1.25	1.5	1.75	2
P	0.50	0.38	0.10	0.015	0.004	0.001

計(jì)算得下一年保費(fèi)的期望為
EX=0.85×0.5+1×0.38+1.25×0.1+1.5×0.015+1.75×0.004+2×0.001=0.9615 …10 分
該車(chē)輛估計(jì)2017年應(yīng)繳保費(fèi)為：（1 17.8×20+1055）×0.9615=3279.677≈3280 元．…11 分
因0.96＜1 （或3280＜3411 ），基于以上數(shù)據(jù)可知，車(chē)險(xiǎn)新政總體上減輕了車(chē)主負(fù)擔(dān)．…12 分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．