Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+m的圖象經(jīng)過第一，二，三，四象限，則實數(shù)m的取值范圍是-$\frac{10}{3}$＜m＜$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過第一，二，三，四象限等價為函數(shù)的極大值f（-2）＞0，極小值f（1）＜0，解不等式即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+x-2=（x-1）（x+2），
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-2＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=-2時，函數(shù)取得極大值f（-2）=-$\frac{8}{3}$+$\frac{4}{2}$-2×（-2）+m=$\frac{10}{3}$+m，
當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極小值f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-2+m=m-$\frac{7}{6}$，
若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+m的圖象經(jīng)過第一，二，三，四象限，
則等價為函數(shù)的極大值f（-2）＞0，極小值f（1）＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{3}+m＞0}\\{m-\frac{7}{6}＜0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞-\frac{10}{3}}\\{m＜\frac{7}{6}}\end{array}\right.$，
即-$\frac{10}{3}$＜m＜$\frac{7}{6}$，
故答案為：-$\frac{10}{3}$＜m＜$\frac{7}{6}$

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值與0的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．