Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求；

（3）判斷數(shù)列中是否存在三項成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）數(shù)列中不存在三項成等差數(shù)列.見解析

【解析】

（1）利用及公式,代入后可證明數(shù)列為等比數(shù)列.結(jié)合求得,即可得數(shù)列的通項公式.

（2）先表示出數(shù)列的通項公式,再由等比數(shù)列的前n項和公式得求得后代入.即可求得的值.

（3）假設(shè)數(shù)列中是否存在三項成等差數(shù)列.設(shè)第m,n,k（）項成等差數(shù)列,代入通項公式化簡變形,構(gòu)造函數(shù),證明在上的單調(diào)性,化簡變形可得矛盾,從而證明數(shù)列中不存在三項成等差數(shù)列.

（1）1°當(dāng)時,,解得.

2°當(dāng)時,,即.

因為,所以,從而數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,

所以.

（2）因為,所以,故數(shù)列是以4為首項,4為公比的等比數(shù)列,

從而,

而,

所以.

（3）不存在.理由如下.

假設(shè)中存在三項成等差數(shù)列,不妨設(shè)第m,n,k（）項成等差數(shù)列,

則,即.

因為,且m,n,,所以.

令（）,則,顯然在上是增函數(shù),

所以,即,

所以,

所以,其左邊為負(fù)數(shù),右邊為正數(shù),故矛盾,

所以數(shù)列中不存在三項成等差數(shù)列.