Question

9．設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓x²+4y²=m²（m＞0）相交于A，B兩個不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：m²＞$\frac{4k^2}{1+4{k}^{2}}$；
（2）若$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{CB}$，求△OAB的面積取得最大值時橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線l與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)得到根的判別式大于0，從而解決問題；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）得${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$，由$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{CB}$得y₂=$-\frac{k}{1+4{k}^{2}}$，從而求得△OAB的面積，最后利用基本不等式求得其最大值及取值最大值時的k值，從而△OAB的面積取得最大值時橢圓方程可求．

解答 解：（1）依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，
故y=k（x+1）可化為x=$\frac{1}{k}y$-1
將x=$\frac{1}{k}y-1$代入x²+4y²=m²，消去x，
得（1+4k²）y²-2ky+k²-k²m²=0，①
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)，得
△=4k²-4（1+4k²）（k²-k²m²）=4k²m²-16k⁴+16k⁴m²＞0，
化簡整理即得${m}^{2}＞\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$，②
∵$\overrightarrow{AC}$=（-1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{CB}$=（x₂+1，y₂），
由$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{CB}$，
得y₁=-3y₂ ，③
由②③聯(lián)立，解得y₂=$-\frac{k}{1+4{k}^{2}}$，④
△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|OC|•|y₁-y₂|=2|y₂|=$\frac{2|k|}{1+4{k}^{2}}$≤$\frac{2|k|}{2|k|}=1$，
上式取等號的條件是4k²=1，即k=±$\frac{1}{2}$．
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時，由④解得${y}_{2}=-\frac{1}{4}$；
當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$時，由④解得${y}_{2}=\frac{1}{4}$．
將k=$\frac{1}{2}$，${y}_{2}=-\frac{1}{4}$及k=-$\frac{1}{2}$，${y}_{2}=\frac{1}{4}$這兩組值分別代入①，
均可解出m²=5，
經(jīng)驗(yàn)證，m²=5，k=±$\frac{1}{2}$滿足${m}^{2}＞\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴△OAB的面積取得最大值時橢圓方程是x²+4y²=4．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．