Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-7|+1．
（1）求不等式f（x）≤x的解集；
（2）若存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為解不等式組問題，解出取并集即可；（2）先求出g（x）的分段函數(shù)，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）由f（x）≤x得|2x-7|+1≤x，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2x-7≥0}\\{2x-7+1≤x}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{2x-7＜0}\\{-2x+7+1≤x}\end{array}}\right.解得：\frac{7}{2}≤x≤6或\frac{8}{3}≤x＜\frac{7}{2}$，
∴不等式f（x）≤x的解集為$\{x|\frac{8}{3}≤x≤6\}$；
（2）令g（x）=f（x）-2|x-1|=|2x-7|-2|x-1|+1，
則$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{6，x≤1}\\{-4x+10，1＜x≤\frac{7}{2}}\\{-4，x＞\frac{7}{2}}\end{array}}\right.$，
∴g（x）_min=-4，
∵存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，
∴g（x）_min≤a，
∴a≥-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查函數(shù)的最值問題，是一道基礎(chǔ)題．