Question

如圖，某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30方向的兩條街道，某公園P位于商業(yè)中心北偏東角（），且與商業(yè)中心O的距離為公里處，現(xiàn)要經(jīng)過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A，B兩處。

（1）當(dāng)AB沿正北方向時(shí)，試求商業(yè)中心到A，B兩處的距離和；

（2）若要使商業(yè)中心O到A，B兩處的距離和最短，請確定A，B的最佳位置。

Answer 1

（1）13.5km．（2）商業(yè)中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時(shí)OA=6km，OB=3km

【解析】

試題分析：（1）建立直角坐標(biāo)系表示圖中各量關(guān)系是解題關(guān)鍵：，OB=2OA=9，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和為13.5km．（2）當(dāng)AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)AB：，則,又直線OB的方程為，所以，，從而，其中，或．利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值為9km；此時(shí)OA=6km，OB=3km，

試題解析：

（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．設(shè)，

∵，∴，，

則，， 4分

依題意，AB⊥OA，則OA=，OB=2OA=9，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和為13.5km． 7分

（2）

方法1：當(dāng)AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)AB：，①

令，得；由題意，直線OB的方程為，②

解①②聯(lián)立的方程組，得，∴，

∴，由，，得，或． 11分

，令，得，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，有極小值為9km；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，結(jié)合（1）知km．

綜上所述，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和最短為9km，此時(shí)OA=6km，OB=3km，

方法2：如圖，過P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，設(shè)∠BAO=，

△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，

△PNA中∠NPA=120°-∴得

同理在△PMB中，，得，

， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)取等號．

方法3：若設(shè)點(diǎn)，則AB：，得，

∴， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號．

方法4：設(shè)，AB：，得，

， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號．

答：A選地址離商業(yè)中心6km，B離商業(yè)中心3km為最佳位置． 15分

考點(diǎn)：函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求最值

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：函數(shù)模型及其應(yīng)用 試題屬性

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