Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）在線段PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD，若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì),空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，先證明DF⊥平面PAF，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EH∥FD，交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD，再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，從而平面GEH∥平面PFD，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：連接AF，則AF=

2

，DF=

2

，
∵AD=2，
∴AF²+DF²=AD²
∴AF⊥DF，
∵PA丄平面ABCD，
∴PA⊥DF，
∵PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF，
∵PF?平面PAF，
∴PF⊥FD．
（2）解：過點(diǎn)E作EH∥FD，交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD．
再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面GEH∥平面PFD．
∵EG?平面GEH，
∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG=

1

4

AP的點(diǎn)G為所求．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面垂直，線面平行的判定定理是關(guān)鍵．