Question

2．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)（x∈R），如[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3，定義{x}=x-[x]，給出下列命題，其中正確的是①③④．
①函數(shù)y={x}的周期為1．
②函數(shù)y={x}的定義域為R，值域為[0，1]．
③在平面上，由滿足[x]²+[y]²=50的點（x，y）所形成的圖形的面積是12．
④設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\{x\}，x≥0}\\{f（x+1），x＜0}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$有3個不同的零點．

Answer 1

分析 對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f（x），∴f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，∴①正確；
∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函數(shù){x}的值域是[0，1），∴②錯誤；
方程：[x]²+[y]²=50
當(dāng)x，y≥0時，[x]，[y]的整解有三組，（7，1），（5，5），（1，7）所以此時|[x]|可能取的數(shù)值為：7，5，1．
當(dāng)|[x]|=7時，7≤x＜8，或-7≤x＜-6，|[y]|=1，-1≤y＜0，或1≤y＜2，圍成的區(qū)域是4個單位正方形；
當(dāng)|[x]|=5時，5≤x＜6，或-5≤x＜-4；|[y]|=5，-5≤y＜-4，5≤y＜6，圍成的區(qū)域是4個單位正方形；
當(dāng)|[x]|=1時，-1≤x＜0，或1＜x≤2，|[y]|=7，-7≤y＜-6，或7≤y＜8，圍成的區(qū)域是4個單位正方形．
總面積是：12，∴③正確；
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\{x\}，x≥0}\\{f（x+1），x＜0}\end{array}\right.$，∴0≤f（x）＜1；當(dāng)0≤x＜1時，f（x）=x，∴y=x$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$有零點x=$\frac{1}{3}$；當(dāng)x≥1時，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=1時有最大值$\frac{1}{2}$，且無最小值，∴函數(shù)y有一零點；當(dāng)x＜0時，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=0時有極小值-$\frac{1}{4}$，且無最大值，∴函數(shù)y有一零點；∴④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了新定義下的函數(shù)值的求解，以及函數(shù)的定義域值域問題，解題的關(guān)鍵弄清題意，結(jié)合所學(xué)的知識尋找解題的方法，是易錯題．