Question

17．設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，并記點M的軌跡曲線為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設過定點（0，2）的直線l與曲線C交于不同兩點E、F，且∠EOF=90°，（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的值．
（Ⅲ）設A，B分別是曲線C的與X軸正半軸和Y軸正半軸的兩個交點，直線y=mx（m＞0）與曲線C交于P、Q兩點，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點到直線、兩點間的距離公式計算即得結論；
（Ⅱ）通過設直線l的方程：y=kx+2并與橢圓方程聯(lián)立，利用∠EOF=90°即$\overrightarrow{OE}$$•\overrightarrow{OF}$=0、結合韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，計算即得結論；
（Ⅲ）通過聯(lián)立直線與橢圓方程可知P（$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$）、Q（-$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，-m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$），利用S_{四邊形APBQ}=2S_△BOP+2S_△QOA及基本不等式計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，
∴$\frac{|x-4|}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=2，
化簡得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由題意可設直線l的方程為：y=kx+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
又∵直線l與曲線C交于不同兩點E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則△=（16k）²-4•4•（3+4k²）＞0，解得：k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∵∠EOF=90°，
∴$\overrightarrow{OE}$$•\overrightarrow{OF}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴（1+k²）•$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$-2k•$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$+4=0，
解得：k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
顯然k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
∴k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅲ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx（m＞0）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
解方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\\{{y}_{1}=m•\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\\{{y}_{2}=-m•\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}}\end{array}\right.$，
即P（$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$），Q（-$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$，-m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$），
∴S_{四邊形APBQ}=2S_△BOP+2S_△QOA
=$2•\frac{1}{2}•$|BO|•x_P+$2•\frac{1}{2}•$|OA|•y_P
=$\sqrt{3}$•x_P+2•y_P
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$+2•m•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$
=（$\sqrt{3}$+2m）•$\sqrt{\frac{12}{3+4{m}^{2}}}$
=2•$\sqrt{\frac{3（\sqrt{3}+2m）^{2}}{3+4{m}^{2}}}$
=2•$\sqrt{3（1+\frac{4\sqrt{3}m}{3+4{m}^{2}}）}$
=$2\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4\sqrt{3}}{4m+\frac{3}{m}}}$，
∵4m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{4m•\frac{3}{m}}$=4$\sqrt{3}$，當且僅當4m=$\frac{3}{m}$即m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時等號成立，
∴$2\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4\sqrt{3}}{4m+\frac{3}{m}}}$≤$2\sqrt{3}$•$\sqrt{1+\frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}}$=2$\sqrt{6}$，
∴當m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，S_{四邊形APBQ}的最大面積為$2\sqrt{6}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．